.RU

Задачи Сколько трехзначных чисел можно составить из множества цифр 1, 2, 3, 4, 5 без повторений? Решение


Комбинаторика


  1. Логика Перебора.

  2. Правило умножения и сложения.

  3. Размещения (с повторениями, без повторений).

  4. Перестановки (без повторений, с повторениями).

  5. Сочетания (без повторений, с повторениями).

  6. Формула степени бинома Ньютона, треугольник Паскаля.

  7. Решение различных комбинаторных задач.


Элементы теории вероятности


  1. События и их классификация.

  2. Относительная частота событий и ее свойства.

  3. Вероятность события и ее свойства.

  4. Независимые испытания. Формулы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.

  5. Совместные события. Формула сложения вероятностей.

  6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

  7. Серия независимых испытаний. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события.



Таня и Ваня могут сесть рядом 20-ю способами


Размещения (без повторений)


Размещениями из n элементов по R элементов называются подмножества k элементов, отличающихся одно от другого или самими элементами или их порядком.


Теорема

Ank=n · (n-1)(n-2)…(n-(k-1)).

Ank=n! : (n-k)!


Задачи


Решение:

n=5; k=3; Ank=5·4·3=60


















Размещения с повторениями


Теорема


Anm=nm


Задачи


Решение:

A103=103=1000





Решение:

Числа могут быть однозначные, их три; двузначные, их 32=9; трехзначные 33=27 и т.д.

3+32+33+34+35=363


  1. не содержащих цифру 8? (59059 номеров).

  2. не содержащих 0 и 8? (32768 номеров).

  3. составленных из цифр 2; 3; 5; 7? (1024 номера).




    • Сколько существует шестизначных номеров телефона? (1000000 номеров).




    • Сколько разных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2, если цифры могут повторяться?

Решение:

Всего можно составить: A34=34=81, но числа с нулем впереди не являются четырехзначными, поэтому: A34 – A33=81-27=54






Перестановки (без повторений)


Перестановками из данных n элементов называются множества из n элементов, различающихся только порядком.


Теорема


Pn=n!


Задачи


Решение:

P4=4!=1·2·3·4=24








Решение:

Поставим сначала львов: P5=5!=120. Тигров можно поставить на 6 мест (впереди львов, сзади и между ними): A46=6! : (6-4)!=360. Всего: 120·360=43200 способов.


Решение:

Сначала рассадим девочек: P5=5!. Способов рассадить мальчиков столько же: P5=5! Значит всего (5!)2. Но так как можно рассадить сначала мальчиков, а потом девочек, то всего будет: 2·(5!)2=28800 (способов).


Перестановки с повторениями


Теорема


Pk1,k2,…kn=k!:(k1!·k2!·…·kn!)


Задачи


Решение:

м-2; а-3; т-2

P10 =10!:(2!·3!·2!)=2·3·4·5·6·7·8·9·10:(2·2·3·2)=151200

P6 =6!:3!=6·5·4=120





  1. 1; 1; 4; 4; (16665).

  2. 0; 0; 4; 4. (12444).




    • Мать купила 2 яблока, 3 груши и 4 апельсина. Девять дней подряд она предлагает сыну по 1-ому фрукту. Сколькими способами она может выдавать фрукты? (1260 способов).


Сочетания (без повторений).


Сочетаниями, содержащими k элементов, выбранных из n элементов заданного множества называются всевозможные множества, различающиеся хотя бы одним элементом. (Порядок расположения не важен).


Теорема


Cnk=n!:(k!·(n-k)!)


Задачи


Решение:

C125=12!:(5!·7!)=792








Решение:

C103·C41·C62=10!·4!·6!:(3!·7!·3!·2!·4!)=7200


Решение:

C21·C32·C41·C53=240








Решение:

При выборе командира и его помощников важно определить, какой из летчиков лучше справляется с теми или иными функциями, поэтому: A253=25·24·23=13800

C202=190 (способов выбора бортинженеров)

C81=8 (способов выбора врача)

A253·C202·C81·=20 976 000


Сочетания с повторениями


Объем выборки k, а множество, из которого строятся выборки, содержит n элементов.


Теорема


Cnk=(k+n-1)!:(k!·(n-1)!)


Задачи


Решение:

n=3; k=5

C35=(5+3-1)!:(5!·(3-1)!)=7!:(5!·2!)=21





Решение:

C43=20 ─ всего треугольников

Разносторонних C43=4

Равносторонних 4

Равнобедренных 20-4-4=12






Элементы теории вероятностей


  1. События и их классификация.




      1. Несовместные события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются совместными.

Несовместность более чем двух испытаний означает их попарную несовместность.


      1. Невозможные события.

Событие называется невозможным, если при испытании оно не может произойти.


      1. Случайные события.

Случайным называется событие, которое может либо произойти, либо не произойти.


      1. Равновозможные события.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.


      1. Противоположные события.

Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.


      1. Достоверные события.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при данном испытании.


Пример 1.

При одном выстреле по мишени возможны следующие события:

      1. А ─ попадание в цель;

      2. В ─ промах.

А и В ─ противоположные, несовместные, случайные.


Пример 2.

Камень подбрасывается вверх.

      1. А ─ камень упадет на землю;

      2. В ─ камень улетит в космос.

А ─ достоверное; В ─ невозможное.


Пример 3.

Из партии посевного зерна отбираются 2 зерна.

      1. А ─ 1-ое зерно взойдет;

      2. В ─ 2-ое зерно взойдет.

А и В ─ случайные, совместные.


Пример 4.

Подбрасывается монета.

      1. А ─ выпадает «орел»;

      2. В ─ выпадет «цифра».

А и В ─ случайные, противоположные, несовместные, равновозможные.


Задачи


Какими являются следующие события?

      1. У человека есть сердце.

      2. После воскресенья наступит вторник.

      3. В феврале 28 дней.

      4. У человека есть родители.

      5. У человека есть дети.

      6. Город находится в России.

      7. Число ─ четное.

      8. Река впадает в Каспийское море.

      9. Земля вращается вокруг Солнца.

      10. Утром светит солнце.

      11. Ночью идет дождь.

      12. Летом цветут цветы.

      13. Ученик получил оценку «5».

      14. Человек умеет плавать.

      15. Квадрат не имеет углов.

      16. Круг желтого цвета.

      17. Птицы имеют крылья.


Суммой А+В двух событий А и В называются события, состоящие в появлении события А или события В, или обоих этих событий.


Пример 5.

Произведены 2 выстрела.

А ─ попадание при первом выстреле;

В ─ при втором.

А+В ─ стрелок попал (один или два раза).


Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.


Произведением А · В называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

А · В ─ попал и 1, и 2 раз.


Относительная частота событий и ее свойства


Относительной частотой (частостью) события называется число


Р*(А)=m:n

m ─ число появлений события А;

n ─ общее число проведенных испытаний.


Пример 1.

Стрелок сделал 1000 выстрелов по мишеням и попал 90 раз.

А={стрелок попал}

Р*(А)=90:100=0,9


Пример 2.

Посадили 70 деревьев, прижилось 50.

А={дерево прижилось}

Р*(А)=50:70=5/7


Свойства

  1. 0≤Р*(А)≤1

  2. А ─ достоверное, то Р*(А)=1

  3. В ─ невозможное, то Р*(В)=0

  4. С ─ случайное, то 0<Р*(С)<1


При переходе от одной серии испытаний к другой Р*(А) почти не меняется. Это число называется вероятностью. Вероятность вычисляется до опытов, а относительная частота ─ после проведения испытаний.


Вероятность события и ее свойства


Вероятностью любого события А называют отношение

Р(А)=m:n


m ─ число благоприятствующих этому событию;

n ─ общее число всех исходов.


Свойства те же, что и у относительной частоты.


Пример 1.

В ящике 20 шаров, из них 10 белых, 7 голубых, 2 желтых и 1 синий.

А={шар белый} Р(А)=10:20=0,5

В={шар голубой} Р(В)=7:20=0,35

С={шар желтый} Р(С)=2:20=0,1

D={шар синий} Р(D)=1:20=0,05


Пример 2.

Найти вероятность события А={выигрыш наибольшей суммы при игре в лото по 1-ому билету}, если для этого надо угадать 5 из 36.

m=1; n=C365=376922

P(A)=1:376922


Пример 3.

В ящике 20 шаров, из них 12 белых, остальные красные. Извлекается 2 шара. Какова вероятность: А={оба шара белые}; B={оба шара красные}; C={один шар белый, один красный}.

n=C202=190; m=C122=66

P(A)=66:190=33/95


Задачи

















Решение:

n=C189=18!:(9!·9!)=48 620

m=2·C134=1430 P(A)=m:n=1:34≈2,41%

Событию А благоприятствует столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд могут образовать девятки с 4-мя командами из числа остальных 13. Как 1-ая, так и 2-ая девятка может быть образована C134 способами.


Решение:

n=P10=10!

. Сначала посадим Таню (10 способов). Ваня может сесть слева и справа от нее. Друзья могут сесть на оставшиеся места 8! способами.

m=20·8!

P(A)=m:n=(20·8!):10!=2/9


Решение:

m=A106=10!:(10-6)!=5·6·7·8·9·10

n=A106=106

P(A)=m:n=0,15120


Решение:

m=10 n=A103=103=1000

P(A)=m:n=0,01


Решение:

10=5+5=6+4=4+6 m=3

n=A62=62=36

P(A)=m:n=1/12


б) 2 шара белые;

в) хотя бы 1 шар белый?


Независимые испытания.

Формулы сложения и умножения вероятностей.

Условная вероятность


Два события могут быть:


  1. несовместимыми, если появление одного исключает появление другого.




  1. независимыми, если появление одного не изменяет вероятность появления другого.




  1. совместными, если появление одного меняет вероятность появления другого. Такие события еще называют зависимыми.




  1. противоположными, если они несовместимы, но одно из них обязательно произойдет.


Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий.


Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном исполнении всех событий.


Если А и В ─ независимые, то


Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Р(А·В)=Р(А)·Р(В)


Задачи


Решение:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,12+0,04=0,16


Решение:

Р(А+В+С)=0,01+0,008+0,025=0,043


Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.


Решение:

Р(А)=3:6=1.2 Р(В)=1.6

Р(АВ)=0,5·1/6=1/12


Решение:

Р(А)=0,8·0,6=0,48


  1. 3 куклы в подарок;

  2. 2 куклы в подарок;

  3. одну куклу;

  4. ни одной куклы?


Совместные события.

Формула сложения вероятностей


Если А и В зависимые, то


Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Р(АВ)=Р(А)·РА(В)

_

В ─ событие, противоположное В _

Р(В)=1-Р(В)


Задачи


  1. 2 белых шара подряд;

  2. 3 белых шара?




    • Вероятность попадания в цель при первом выстреле 0,1; при втором 0,4; при третьем 0,7. Найти вероятность того, что:

      1. ни одна пуля не попала в цель;

      2. 1 пуля попала;

      3. 2 пули попали;

      4. 3 пули попали?

Решение:

p1=0,1 p2=0,4 p3=0,7

q1=0,9 q2=0,6 q3=0,3

  1. P0=q1·q2·q3=0,9·0,6·0,3=0,162

  2. P1=p1·q2·q3+p2·q1·q3+p3·q1·q2

P1=0,1·0,6·0,3+0,4·0,9·0,3+0,7·0,9·0,6=0,504

  1. P2=0,306

  2. P3=p1·p2·p3=0,1·0,4·0,7=0,028




    • Найти вероятность того, что выбранное изделие является первосортным, если известно, что 4% всей продукции бракованная, а 75% не бракованных деталей удовлетворяют требованиям первого сорта.




    • Три друга-студента сдают экзамен. Вероятность того, что первый сдаст экзамен на «5» равна 0,6; второй ─ 0,7; третий ─ 0,2. Найти вероятность того, что:

  1. хотя бы один сдаст экзамен на «5»;

  2. только один сдаст на»5»;

  3. все сдадут на»5»?

Решение:

    1. Р(А)=1-0,4·0,3·0,8=1-0,096=0,904

    2. Р(А)=p1·q2·q3+p2·q1·q3+p3·q1·q2

Р(А)=0,6·0,3·0,8+0,7·0,4·0,8+0,2·0,4·0,3=0,144+0,224+0,024=0,392

    1. Р(А)=0,6·0,7·0,2=0,084




    • Вероятность того, что семя было обработано раствором 0,95. Вероятность того, что обработанное семя взошло 0,99. Вероятность того, что необработанное семя взошло 0,85. Какова вероятность того, что случайно выбранное семя взошло?



    • Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает ответы на 3 предложенные вопроса?

Решение:

Р(А)=20/25·19/24·18/23≈0,496

    • Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство 0,9; второе ─ 0,95; третье ─ 0,85. Найти вероятность того, что сработает

  1. только одно устройство;

  2. два устройства;

  3. три устройства;

  4. хотя бы одно?




    • Деталь попадает на проверку к одному из контролеров. Вероятность того, что к 1-ому ─ 0,6; ко 2-ому ─ 0,4. Вероятность того, что деталь будет признана стандартной 1-ым контролером 0,94; 2-ым ─ 0,98. Какова вероятность, что деталь признана стандартной?

Решение:

Обозначим события:

А ─ деталь признана стандартной;

В ─ проверял 1-ый контролер;

С ─ проверял 2-ой контролер.

Р(В)=0,6; Р(С)=0,4; РВ(А)=0,94; РС(А)=0,98

Р(А)=0,6·0,94+0,4·0,98=0,564+0,392=0,956


Формула полной вероятности.

Формула Байеса


Если события попарно несовместны и в результате произойдет одно из них, то эти события образуют полную группу.

Если А, В, С образуют полную группу, то:


Р(А)+Р(В)+Р(С)=1


Пример


Решение:

Р(А)+Р(В)=1


Теорема



Р(А)=Р(В1)·РВ1(А)+Р(В2)·РВ2(А)+…


Задачи


Решение:

Обозначим события:

А ─ деталь стандартная

В ─ деталь из 1-ого набора

С ─ деталь из 2-ого набора

РВ(А)=0,8; РС(А)=0,9; Р(В)=0,5; Р(С)=0,5

Р(А)=0,8·0,5+0,9·0,5=0,85


Решение:

Обозначим события:

А0 ─ промах

А1 ─ одно попадание

А2 ─ два попадания

А3 ─ три попадания

Р(А)=Р(А0)·РА0(А)+Р(А1)·Р(А)+Р(А2)·РА2(А)+Р(А3)·РА3(А)

_ _ _

А0=В1·В2·В3

_ _ _ _ _ _

А1=В1·В2·В3+В1·В2·В3+ В1·В2·В3


А2= В1·В2·В3+В1·В2·В3+ В1·В2·В3


А3=В1·В2·В3

Р(А0)=0,6·0,5·0,3=0,09

Р(А1)=0,36; Р(А2)=0,41 Р(А3)=0,14

Тогда:

Р(А)=0,09·0+0,36·0,2+0,41·0,6+0,14·1=0,458


Формула Байеса


РА(А1)=Р(А1)·РА1(А)/Р(А)


Примеры


Решение:

Р(В1)=0,95; Р(В2)=0,05

РВ1(А)=0,99; РВ2(А)=0,85

Р(А)=0,95·0,99+0,05·0,85=0,983

РВ1(А)=0,95·0,99/0,983=0,957








Решение:

Обозначим события:

В1 ─ отвечал отличник

В2 ─ отвечал хорошист

В3 ─ отвечал троечник

В4 ─ отвечал двоечник

А ─ ответил отлично

Р(В1)=0,3; Р(В2)=0,4; Р(В3)=0,2; Р(В4)=0,1

РВ1(А)=1; РВ2(А)=16/20·15/19·14/18≈0,491

РВ3(А)=10/20·9/19·8/18≈0,105; РВ4(А)=5/10·4/9·3/8≈0,09

Р(А)=0,3·1+0,4·0,491+0,2·0,105+0,1·0,09=0,5183

РА(В1)=0,3·1/0,5183=0,579


Решение:

Вероятность пойти по какой-то определенной дороге ─ 0,2; т.к. дорог 5 и все они равновероятны.

Р(А)=0,2(0,6+0,3+0,2+0,1+0,1)=0,26

РА(В1)=0,2·0,6/0,26≈0,462


Решение:

Р(А)=0,2·0,4+0,6·0,8=0,56 ─ вероятность попадания

РА(В1)=0,2·0,4/0,56=1/7


Решение:

Р(А)=0,5·0,31+0,5·0,48=0,395

РА(В2)=0,5·0,48/0,395=0,61


Серии независимых испытаний. Формула Бернулли

Наивероятнейшее число наступлений события


Pk,n=Cnk·pk·qn-k ─ формула Бернулли.


Задачи


Решение:

р=0,5; q=1-0,5=0,5; n=10; k=2

P2,10=C102·(0,5)2·(0,5)8=45/1024=0,0439








Решение:

P1,2=C21·p1·q1=2·0,5·0,5=0,5

P2,4=C42·p2·q2=2·3·4/2·1/4·1/4=3/8

Вероятность выиграть одну партию из двух выше.






n·p-q≤k0≤n·p+p ─ наивероятнейшее число появлений события при повторном испытании


Задачи


Решение:

n=6; p=0,7; q=1-0,7=0,3

6·0,7-0,3≤k0≤6·0,7+0,7

3,9≤k0≤4,9

k0=4

P4,6=C64·p4·q2=5·6/2·(0,7)4·(0,3)2=0,324





vremennoe-pravitelstvo-galin-v-v-g-15-vojna-i-revolyuciya-seriya-tendencii.html
vremennoe.html
vremya-20-avgusta-2009-esli-vse-moshenniki-to-eto-uzhe-ne-korrupciya-monitoring-pechatnih-smi-za-period-iyul-2009g.html
vremya-bajkonura-mezhdu-piterom-i-leningradom.html
vremya-dejstviya-paketa-24-chasa-s-momenta-fakticheskogo-zaezda-gostej-kazhdie-posleduyushie-sutki-schitat-kak-pozdnij-viezd-do-6-chasov-ili-polnie-sutki-po-obichnomu-tarifu.html
vremya-edinstvennoe-chto-vne-nas-ne-sushestvuet-ono-pogloshaet-vse-sushestvuyushee-vne-nas.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/role-of-government-intervention-in-environmental-issues.html
  • literatura.bystrickaya.ru/spisok-literaturi-dlya-uglublennogo-izucheniya-kursa-uchebno-metodicheskij-kompleks-dlya-specialnosti-080102-mirovaya.html
  • composition.bystrickaya.ru/plan-seminarskogo-zadaniya-po-metodike-prepodavaniya-istorii-3-kurs.html
  • desk.bystrickaya.ru/osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-po-vvedeniyu-fgos-na-period-2012-2015-godi.html
  • tasks.bystrickaya.ru/010-000-000-000-obshie-voprosi-oboroni-stranica-4.html
  • textbook.bystrickaya.ru/istina-i-zabluzhdenie-pravda-i-lozh.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/v-svedeniya-o-finansovo-hozyajstvennoj-deyatelnosti-emitenta-resheniem-edinstvennogo-akcionera.html
  • letter.bystrickaya.ru/mkdou-detskij-sad-obsherazvivayushego-vida-32-p-razdolnoe-nadezhdinskogo-rajona-z-b-polina-23-iyunya-2012-g.html
  • urok.bystrickaya.ru/prikaz-mvd-rf-ot-15-fevralya-2002-g-n-135-o-sovershenstvovanii-organizacii-sluzhebnih-komandirovok-v-sisteme-ministerstva-vnutrennih-del-rossijskoj-federacii-s-izmeneniyami-ot-9-oktyabrya-2002-g-1-iyulya-2004-g.html
  • literatura.bystrickaya.ru/respubliki-moldova-glavnoe-upravlenie-vospitaniya-nauki-molodezhi-i-sporta-primerii-municipiya-kishinev-licej-imeni-dmitriya-kantemira.html
  • shpora.bystrickaya.ru/vzaimodejstvie-gosdumi-s-federalnimi-organami-pervij-kanal-novosti-07-11-2008-korableva-valeriya-06-00.html
  • reading.bystrickaya.ru/lekciya-povedenie-potrebitelya-3.html
  • books.bystrickaya.ru/devushkam-do-semnadcati-instrukciya-po-primeneniyu.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/faktori-blagopoluchiya-neblagopoluchiya-gorodov.html
  • doklad.bystrickaya.ru/v-v-sokolov-filosofskij-sintez-gotfrida-lejbnica-stranica-31.html
  • credit.bystrickaya.ru/otchyot-po-preddiplomnoj-praktike-na-temu-mehanizmi-obespecheniya-kachestva-obsluzhivaniya-v-korporativnih-setyah.html
  • thesis.bystrickaya.ru/prezident-rf-vladimir-putin-vstretilsya-s-liderami-10-ti-krupnejshih-rossijskih-partij.html
  • bukva.bystrickaya.ru/razdel-1-vvedenie-v-uchebnij-kurs-osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-visshego-professionalnogo-obrazovaniya-napravlenie-podgotovki.html
  • universitet.bystrickaya.ru/tema-2-koncepciya-logistiki-uchebno-metodicheskij-kompleks-udk-bbk-l-rekomendovano-k-izdaniyu-uchebno-metodicheskim.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/soderzhanie-lekcij-i-prakticheskih-zadanij-po-fizike-kratkoe-soderzhanie-lekcionnogo-kursa.html
  • textbook.bystrickaya.ru/internet-resursi-nezavisimaya-gazeta-alkej-07-07-2008-137-str-1-8.html
  • letter.bystrickaya.ru/obrazovatelnie-resursi-v-pomosh-shkolnikam-roditelyam-i-uchitelyam.html
  • uchit.bystrickaya.ru/teoriya-psihologicheskoj-differenciacii-uchebnik-dlya-studentov-visshih-uchebnih-zavedenij.html
  • crib.bystrickaya.ru/k-voprosu-ob-obuchenii-inostrannomu-yaziku-magistrantov-krasgau.html
  • institute.bystrickaya.ru/forma-4-instrukciya-dlya-uchastnikov-razmesheniya-zakaza-4-dlya-uchastnika-razmesheniya-zakaza-yuridicheskogo-lica-podpisani.html
  • diploma.bystrickaya.ru/zhurnalistskoe-rassledovanie-chast-9.html
  • bukva.bystrickaya.ru/molochnost-svinomatok-fiziologiya-znachenie-i-metodi-povisheniya-molochnosti.html
  • education.bystrickaya.ru/221-programma-grazhdansko-patrioticheskogo-vospitaniya-pasport-programmi-razvitiya-shkoli-na-2011-2015-godi-i.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/eta-udivitelnaya-vselennaya.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/standart-srednego-polnogo-obshego-o-brazovaniya-po-inostrannomu-yaziku-bazovij-uroven.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/priglashenie-k-delovomu-sotrudnichestvu-stranica-15.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-5-nalogovoe-obyazatelstvo-zakon-nalogovij-kodeks.html
  • college.bystrickaya.ru/3-yanvarya-2010-goda-rosaviaciya-dalnevostochnoe-mezhregionalnoe-territorialnoe-upravlenie-vozdushnogo-transporta.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/seriya-100-velikih-predstavlyaet-novuyu-knigu-kotoraya-poznakomit-chitatelej-s-biografiyami-100-admiralov-vozglavlyavshih-floti-v-razlichnih-srazheniyah-i-vojnah-i-oka-stranica-14.html
  • bukva.bystrickaya.ru/offshornie-kompanii-chast-5.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.