.RU

Задачи для школьных олимпиад по математике (8-11 классы) Вскобках после номера задачи



Папушина Екатерина Александровна, учитель первой квалификационной категории

МОУ «СОШ №1 с углубленным изучением английского языка» г. Вологды



Задачи для школьных олимпиад по математике (8-11 классы)


В скобках после номера задачи указаны классы, для которых мы рекомендуем включить эту задачу. Приведены очень краткие решения, требуйте от учащихся гораздо более подробных рассуждений. Для того, чтобы не произошло рассекречивания заданий, мы предлагаем каждой школе самостоятельно выбрать задачи из списка, быть может, добавив какие-то свои. Некоторые задачи имеет смысл предлагать нескольким параллелям. Просим дать возможность выступить на олимпиаде школьникам младше 8 класса по текстам за 8 класс. Предлагаем включить в текст олимпиады 4-5 задач на 2-3 часа. Наши тексты имеют рекомендательный характер, их можно изменять по своему усмотрению.


Задача 1 (8-9). Напишите в строку пять чисел, чтобы сумма любых двух соседних чисел была отрицательна, а сумма всех чисел — положительна.


Решение 1. Например, 3 -4 3 -4 3.


Задача 2. (8) В коробке синие, красные и зелёные карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зелёных, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?


Решение 2. Син=6*Зел, Кр<Син. Таким образом, всего карандашей больше, чем 7*Зел, но меньше, чем 13*Зел. Зел=2. Син=12, Кр=6.


Задача 3 (8-9). В токарном цехе вытачиваются детали из стальных заготовок, из одной заготовки — деталь. Стружки, оставшиеся после обработки трех заготовок, можно переплавить и получить ровно одну заготовку. Какое наименьшее число заготовок нужно взять, чтобы получить 40 деталей?


Решение 3. 27 заготовок. 27+9+3+1=40. Меньше нельзя. Деталь весит 2/3 от веса заготовки. Тогда из 26 заготовок можно изготовить не более 26*3/2<40 деталей.


Задача 4 (10-11). Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Какую наименьшую площадь может иметь этот четырехугольник, если площадь треугольника AOB равна 4, а площадь треугольника COD равна 9?


Лемма. a, b > 0, ab=36 => a+b>=12. Доказательство. Надо доказать a/6+6/a>=2. А это верно (сумма обратных величин) ввиду x+1/x>=2, (x-1)*(x-1)/x>=0.

Решение 4. Так как SAOB : SBOC = AO : OC = SAOD : SDOC, то SBOC * SAOD = SAOB * SDOC = 36. Следовательно , SBOC + SAOD >= 12, причем равенство достигается, если SBOC = SAOD, т. е. SABC = SABD, откуда AB||CD. При этом площадь четырехугольника равна 4 + 9 + 12 = 25.


Задача 5 (9-10). Если на плоскости заданы пять точек, то, рассматривая всевозможные тройки этих точек, можно образовать 30 углов. Обозначим наименьший из этих углов 1. Найдите наибольшее значение угла 1.


Решение 5. Предположим сначала, что точки являются вершинами выпуклого пятиугольника. Сумма углов пятиугольника равна 540o, поэтому один из его углов не превосходит 540o/5 = 108o. Диагонали делят этот угол на три угла, поэтому один из них не превосходит 108o/3 = 36o. В этом случае 36o.

Если точки не являются вершинами выпуклого пятиугольника, то одна из них лежит внутри треугольника, образованного тремя другими. Один из углов этого треугольника не превосходит 60o. Отрезок, соединяющий соответствующую вершину с внутренней точкой, делит этот угол на два угла, поэтому один из них не превосходит 30o. В этом случае 30o. Во всех случаях 36o. Ясно, что для правильного пятиугольника = 36o.


Задача 6 (8-10). Вся семья выпила по полной чашке кофе с молоком, причем, Катя выпила 1/4 всего молока и 1/6 всего кофе. Сколько человек в семье?


Решение 6. 5 человек. Ясно, что в семье больше 4, но меньше 6 человек. Пример с 5 человеками: всего было 3 чашки кофе и 2 чашки молока, Катя выпила по полчашки того и другого.


Задача 7 (9-11). Из Цветочного города в Солнечный ведёт шоссе длиной 12 км. На втором километре этого шоссе расположен железнодорожный переезд, который три минуты закрыт и три минуты открыт и т. д., а на четвёртом и на шестом километрах расположены светофоры, которые две минуты горят красным светом и три минуты - зелёным и т. д. Незнайка выезжает из Цветочного города в Солнечный в тот момент, когда переезд только что закрылся, а оба светофора только что переключились на красный. За какое наименьшее время (в минутах) он сможет доехать до Солнечного города, не нарушая правил, если его электромобиль едет по шоссе с постоянной скоростью (Незнайка не умеет ни тормозить, ни увеличивать скорость)?


Решение 7. 24 мин.

Будем откладывать по оси абсцисс время (в минутах), а по оси ординат — расстояние от Цветочного города (в километрах). Так как скорость электромобиля постоянна, то график его движения — прямая. При этом Незнайка не может проезжать переезд, расположенный на втором километре шоссе, пока не истекут три минуты, а также на седьмой, восьмой и девятой минутах, на тринадцатой-пятнадцатой минутах и т. д. Графически это означает, что прямая не может пересекать выделенные отрезки. Аналогично можно отметить отрезки, которые запрещено пересекать из-за светофоров. Осталось из начала координат провести прямую, которая не пересекает ни один из выделенных отрезков и пересекает горизонтальную прямую y = 12 как можно раньше.


Задача 8 (8-11). Во время бала каждый юноша танцевал вальс с девушкой либо более красивой, чем на предыдущем танце, либо более умной, но большинство (не меньше 80 процентов) - с девушкой одновременно более красивой и более умной. Могло ли такое быть? (Юношей и девушек на балу было поровну.)


Решение 8. Да. Пусть девушки набрали количество баллов за красоту и ум (чем больше, тем лучше):

девушка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

красота 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ум 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Во втором танце юноша танцует с девушкой, номер которой на 1 больше, чем у той, с которой танцевал первый танец. Юноша, танцевавший с 10-й девушкой, танцует с 1-й. Восемь юношей из 10 танцуют одновременно с более умной и более красивой девушкой.


Задача 9 (8-9). Попытайтесь получить миллиард (1000000000), перемножая два целых сомножителя, в каждом из которых не было бы ни одного нуля.


Решение 9. Это 2 в 9 степени и 5 в 9 степени.


Задача 10 (8). На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое ''уплотнение'' повторили ещё дважды (всего 3 раза). В результате на прямой оказалось отмечено 113 точек. Сколько точек было отмечено первоначально?


Решение 10. x+(x-1)+(2x-2)+(4x-4)=113 x=15


Задача 11 (8-10). Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 x 991?


Решение 11. НОД (199, 991) = НОД (195, 199) = НОД (4, 195) = НОД (1, 4) = 1. Поэтому на диагонали нет узлов сетки и она пересекает 991+199-1=1189 клеток.


Задача 12 (8-11). Назовем натуральное число "изумительным", если оно имеет вид a^b+b^a, где a и b натуральные числа. Например, чиcло 57 - изумительное, так как 57=25+52. Является ли изумительным число 2006?


Решение 12. Да. 2006=1^2005+2005^1.


Задача 13 (8-9). Является ли число 102030405060708090807060504030201 квадратом какого-нибудь целого числа?


Решение 13. Да, 10101010101010101


Задача 14 (8). Яблоко плавает на воде так, что 1/5 часть яблока находится над водой, а 4/5 - под водой. Под водой яблоко начинает есть рыбка со скоростью 120 грамм/мин., одновременно над водой яблоко начинает есть птичка со скоростью 60 грамм/мин. Какая часть яблока достанется рыбке, а какая- птичке?


Решение 14. Рыбке 2/3, птичке 1/3.


Задача 15 (9-10). На плоскости расположен квадрат, и невидимыми чернилами нанесена точка P. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит P (если P лежит на прямой, то он говорит, что P лежит на прямой).

Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка P внутри квадрата?


Решение 15. Три: по какую сторону от каждой из диагоналей, и третий вопрос - по какую сторону от соответствующей стороны. Двух вопросов недостаточно (докажите!).


Задача 16 (10-11). На международный конгресс приехало 578 делегатов из разных стран. Любые три делегата могут поговорить между собой без помощи остальных (при этом, возможно, одному из них придется переводить разговор двух других). Докажите, что всех делегатов можно поселить в двухместных номерах гостиницы таким образом, чтобы любые двое, живущие в одном номере, могли поговорить без посторонней помощи.


Решение 16. Берем любых трех, среди них найдутся двое, знающие один изык (по условию). Их помещаем в номер. И т. д. Остаются четверо. Перебором убеждаемся, что их можно поместить в 2 номера.


Задача 17 (9-11). На столе - куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч делят на две. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?


Решение 17. Заметим, что при выполнении одного хода число камней на столе уменьшается на 1, а число кучек увеличивается на единицу. Таким образом, при выполнении хода или нескольких ходов сумма числа камней и числа кучек остается постоянной, равной 1002 (так как вначале число кучек было равно 1, а число камней - 1001). Если бы в конце концов мы получили n кучек по 3 камня, то в этот момент число камней на столе было бы равным 3n, и следовательно, сумма числа камней и числа кучек была бы равна 3n+n=4n. Но ни при каком натуральном n число 4n не может быть равно 1002, так как 1002 не делится на 4. Тем самым, получено противоречие, доказывающее, что требуемое в условии задачи не возможно.


Задача 18 (8-9). Имеются две веревки. Если любую из них поджечь с одного конца, то она сгорит за час. Веревки горят неравномерно. Например, нельзя гарантировать, что половина веревки сгорает за 30 минут. Как, имея две такие веревки, отмерить промежуток времени в 15 минут?


Решение 18. Одновременно подожжем одну веревку с двух концов, другую с одного. Как только первая веревка сгорит полностью (через 30 минут), вторую поджигаем с другого конца.


Задача 19 (10-11). Можно ли расположить шесть деревянных кубов в пространстве так, чтобы каждый имел общую часть грани с каждым? (Общая часть должна быть многоугольником.)


Решение 19. Да. Оба слоя (верхний и нижний) состоят из 3 кубиков в форме буквы Т. Слои повернуты по отношению друг к другу. Нарисуйте!


zakon-kraya-o-socialnoj-podderzhke-invalidov.html
zakon-liderstva-popurri.html
zakon-magadanskoj-oblasti-ot-10-noyabrya-2006-g-n-760-oz-o-gradostroitelnoj-deyatelnosti-v-magadanskoj-oblasti.html
zakon-minimuma-libiha-zakon-tolerantnosti-shelforda.html
zakon-moskovskoj-oblasti-ot-28-aprelya-1998-g-n-1398-oz-o-prozhitochnom-minimume-v-moskovskoj-oblasti.html
zakon-murmanskoj-oblasti-o-socialnom-obsluzhivanii-naseleniya-v-murmanskoj-oblasti.html
  • education.bystrickaya.ru/3direkt-marketing-marketingovie-kommunikacii.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-mchs-rossii-sergej-shojgu-rossijskie-smi-o-mchs-monitoring-za-6-oktyabrya-2009-g.html
  • desk.bystrickaya.ru/otchetnaya-dokumentaciya-po-internature.html
  • kontrolnaya.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-uchebnoj-disciplini-professionalnij-praktikum.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/7-analiticheskoe-bibliograficheskoe-opisanie-system-of-standards-on-information-librarianship-and-publishing-bibliographic.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/kratkij-spravochnik-po-fondam-stranica-5.html
  • spur.bystrickaya.ru/konstruirovanie-i-raschet-balochnoj-kletki-i-kolonni-pri-proektirovanii-rabochej-ploshadki-proizvodstvennogo-zdaniya.html
  • learn.bystrickaya.ru/glava-40-dejstviya-v-chuzhom-interese-bez-porucheniya-istochnik-is-paragraf-14-09-2010-15-03-16.html
  • desk.bystrickaya.ru/per-s-kitajskogo-b-b-vinogrodskogo-stranica-4.html
  • knigi.bystrickaya.ru/reshenie-upravleniya-imushestvennih-i-zemelnih-otnoshenij.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sostoyanie-lda-shesti-zalivov-na-bajkale-uzhe-predstavlyaet-realnuyu-ugrozu-dlya-avtomobilej-i-lyudej-internet-resurs-baikal24ru-02042011.html
  • spur.bystrickaya.ru/lesopilenie-pilorama-s-brusovkoj-okorka.html
  • notebook.bystrickaya.ru/izdanie-osushestvleno-v-ramkah-programmi-pushkin-pri-podderzhke-ministerstva-inostrannih-del-francii-i-posolstva-francii-v-rossii-ouvrage-ralis-dans-le-cadre-stranica-4.html
  • abstract.bystrickaya.ru/3-professionalnij-cikl-spisok-profilej-napravleniya-podgotovki-220400.html
  • grade.bystrickaya.ru/metodika-i-posledovatelnost-issledovaniya-organa-zreniya-vidi-klinicheskoj-refrakcii-klinika-obektivnie-i-subektivnie-metodi-issledovaniya-diagnostika.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/pravila-oformleniya-diplomnih-rabot-ministerstvo-obrazovaniya-i-nauki-rossijskoj-federacii-federalnoe-gosudarstvennoe-avtonomnoe-obrazovatelnoe-uchrezhdenie-visshego-professionalnogo-obrazovaniya.html
  • tests.bystrickaya.ru/koncepciya-cheloveka-chelovecheskogo-soznaniya-v-alefevra-sm-ego-knigi-konfliktuyushie-strukturi-formula-cheloveka-kniga-na-angl-kosmicheskij-chelovek.html
  • knigi.bystrickaya.ru/skladskoj-tehnologicheskij-process-i-ego-sostavnie-chasti-chast-5.html
  • crib.bystrickaya.ru/kak-ukreplyaetsya-sila-misli-otvetstvennost-za-duhovnuyu-zhizn.html
  • uchebnik.bystrickaya.ru/vigotskij-l-s-v-92-psihologiya-razvitiya-cheloveka-stranica-53.html
  • composition.bystrickaya.ru/osnovnie-ponyatiya-i-opredeleniya-predmetnoj-oblasti-informatizaciya-obrazovaniya-stranica-5.html
  • textbook.bystrickaya.ru/informacionnij-byulleten-3-informacionnij-byulleten-1-postupivshih-v-fgu-tfi-po-krasnoyarskomu-krayu-geologicheskih.html
  • shkola.bystrickaya.ru/trudovoj-kodeks-i-meri-otvetstvennosti-za-neschastnie-sluchai.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/uchebnaya-programma-disciplini-otechestvennaya-istoriya.html
  • composition.bystrickaya.ru/pervonachalnoe-priznanie-finansovih-instrumentov-kratkie-svedeniya-o-licah-vhodyashih-v-sostav-organov-upravleniya.html
  • urok.bystrickaya.ru/programma-mezhdisciplinarnogo-vstupitelnogo-ekzamena-v-magistraturu-po-napravleniyu-220200-68-550200-avtomatizaciya-i-upravlenie.html
  • holiday.bystrickaya.ru/nastoyashee-uchebnoe-posobie-sostavleno-v-sootvetstvii-s-programmoj-kursa-neorganicheskoj-himii-i-chitaemogo-uchashimsya-himiko-biologicheskogo-otdeleniya-shkoli-imeni-a.html
  • bukva.bystrickaya.ru/osnovnaya-obrazovatelnaya-programma-nachalnogo-obshego-obrazovaniya-municipalnogo-obsheobrazovatelnogouchrezhdeniya-stranica-122.html
  • literature.bystrickaya.ru/dmitrij-terentev-npo-inzheneri-elektrosvyazi.html
  • literature.bystrickaya.ru/doklad-soveshaniya-ekspertov-po-metodam-i-rukovodyashim-principam-provedeniya-operativnoj-ocenki-biologicheskogo-raznoobraziya-vnutrennih-vodnih-ekosistem-stranica-6.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/iv-forma-itogovogo-kontrolya-bibliotechno-informacionnaya-deyatelnost.html
  • writing.bystrickaya.ru/afanasij-fet-misl-bivaet-svetla-tolko-kogda-ozaryaetsya-dobrim-chuvstvom-v-o-klyuchevskij.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-2energeticheskie-resursi-rossii-i-ihispolzovanie-problemi-i-resheniya-uchebnoe-posobie-izdatelstvo-tpu-tomsk-2006.html
  • letter.bystrickaya.ru/obrazovatelnaya-programma-gosudarstvennaya-molodezhnaya-politika-uchebno-metodicheskoe-posobie-kazan-2010-bbk-66-75-o-18-stranica-7.html
  • credit.bystrickaya.ru/polozhenie-oprovedenii-kraevedcheskoj-konferencii-konkursa-uchashejsya-molodezhi-g-krasnokamenska-i-krasnokamenskogo-rajona-velikie-stepnie-imperii.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.